Fyzikální "líné" kyvadlo

t = Π √²( J/mgl)
      kde J je moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení,   m - hmotnost kyvadla, 
      g - gravitační zrychlení   a  l - vzdálenost těžiště od osy otáčení 
      (g a l nejsou konstanty, ale závisí na dalších proměnných, jako je teplota, tlak, výška,,,)

Všiměte si, že vzdálenost těžiště od osy otáčení je ve jmenovateli zlomku. Rozložení hmoty má však zásadní vliv na moment setrvačnosti, který je v čitateli zlomku. U běžných kyvadel se doba kyvu zvětšuje při vzdalování těžiště od osy otáčení. Při určitém rozložení hmoty kyvadla však při zvětšování vzdálenosti těžiště od osy otáčení kyvadlo zrychluje. 

U matematického kyvadla je hmota, soustředěna v bodu na nehmotném závěsu, tedy celkový moment setrvačnosti je J = ml². Po dosazení můžeme zkrátit jak hmotnost vyjde známý vzorec t = Π √²( l/g) 

Kyvadlo "obrácené T"

Pokud potřebujeme kyvadlo zpomalit a zároveň dobu kyvu snadno spočítat, můžeme hmotu rozdělit do několika bodů, které budeme považovat za bezrozměrné a upevněné na nehmotných ramenech. Nejčastěji používanou konstrukcí je "obrácené T.Takové kyvadlo je na snímku vlevo. Jeho hlavní výhoda je, že se snáze realizuje protože nepotřebuje hmotu nad závěsem. Můžeme si ho představit jako matematické kyvadlo o délce závěsu L, jehož hmota m byla rozdělena symetricky na obě strany na nehmotných ramenech délky R. 

Direkční gravitační síla je stejná jako u klasického matematického kyvadla, protože rozdělením hmoty se poloha těžiště nezměnila. Moment setrvačnosti je však větší, neboť setrvačná hmota působí na větším poloměru, který je dán vzdálenost poloviční hmoty od místa závěsu. Tato vzdálenost je přeponou pravoúhlého trojúhelníka, tak ji lze snadno určit.   

V tomto případě je moment setrvačnosti dle Pythagorovi věty  J = m(L² + R²)

Po dosazení do prvního vzorce vidíme, že opět lze zkrátit zlomek velikostí hmoty, nikoliv však už délkou závěsu. Ani u tohoto "líného" kyvadla doba kyvu nezáleží na velikosti hmoty. Ovšem hmota musí být nenulová a značně převažovat nad hmotou ostatních konstrukčních prvků kyvadla.. 

Tedy: t = Π √²((L² + R²)/gL)

Pokud je délka ramen rovná délce závěsu, je doba kyvu přibližně 1.41 krát delší než u matematického kyvadla. Ve všech těchto případech vychází redukovaná délka kyvadla větší než vzdálenost mezi osou závěsu a těžištěm. Označení "redukovaná délka" se proto moc nehodí,  ale asi jiný pojem není zaveden. 

Vliv momentu setrvačnosti je dobré si uvědomit už v okamžiku, kdy na kyvadle je čočka větších rozměrů. Zatímco gravitační zrychlení působí v těžišti, moment setrvačnosti závisí na rozložení hmoty kolem osy otáčení. Podstatné je, že vliv každého hmotného bodů roste kvadraticky se vzdáleností od osy. 

Jednoduché složené kyvadlo

Uvažujme, že na nehmotném závěsu jsou dva hmotné body. První hmota $m_{}$₁ je ve vzdálenosti l₁ od osy, druhá m₂ ve vzálenosti l₂. Při tomto zjednodušení snadno spočítáme ekvivalentní délku kyvadla  L= (m₁l₁² + m₂l₂² )/ (m₁l₁+ m₂l₂)  V čitateli je moment setrvačnosti, který se zvětšuje s druhou mocninou vzdálenosti od osy. V něm se délka závěsu projevuje více v poloze těžiště. Vzniká tak zdánlivě neočekávaný jev. Posouváním střední hmoty blíže k závěsu se někdy kyvadlo zpomaluje.

Ukažme to na příkladu, kdy m₁ = m₂ = 1 kg a l₁ = 1 m, l₂ = 2 m. Pak je ekvivalentní délka kyvadle L = 5 / 3 = 1.67 m. Změníme-li  l₁ = 0,5 m, dostaneme L = 1.7 m, kyvadlo tedy zpomalí.

Závislost však není lineární, je to dokonce konvexní křivka s minimem. Lépe to bude vidět na grafu, kde se l₁ mění od 0 do l₂. Je vidět zajímavý efek. Nejrychleji kyvadlo kývá, když je závaží m₁ ve vzdálenosti cca 0,828 m od závěsu. Když je závaží ve stejné vzdálenosti jako druhé závaží je to "normální" kyvadlo. Pokud je závaží v úrovni bodu otáčení, hmota je neprojevuje, pokud je soustředěna v jednom bodu. Pokud by závaží bylo reálné, projevil by se vliv momentu setrvačnosti a redukovaná délka kyvadla by překročila reálnou délku.  

Fyzikální kyvadlo s podobnými vlastnosti pouřívají některé elektrické hodiny ATO, případně Kundo. 

Graf závislosti ekvivalentní délky kyvadla L při posouvání hmoty m₁ os l₁ = 0 do l₁ = l2. Zkuste jiné hmoty a délky.

Diferenciální matematické kyvadlo

Problém praktického výpočtu ovšem je, jak jednoduše stanovit moment setrvačnosti u reálného kyvadla. Pro často používanou konstrukci "líného" kyvadla však zjednodušené řešení existuje. Když nahlédneme do Mechaniky od Dr. Strouhala z roku 1901, vidíme, že kyvadlo na obrázku chápe jako (v původním pravopisu) "differentialni matematické kyvadlo", které jde spočítat celkem snadno. V idealizovaném modelu má toto kyvadlo na nehmotné tyči ve vzdálenosti l od osy otáčení dva stejné hmotné body o hmotnosti m. Na obrázku je jeden pod osou, druhý nad osou, ale tyč může být i jinak orientovaná. Připojí-li se k dolnímu bodu malý přívažek m₀, působí svou direkční silou D = m₀gl nejen proti setrvačnosti vlastní, ale i proti setrvačnosti celkové hmoty M = 2m+m₀. Celkový moment setrvačnosti je pak J = Ml^₂. (Proti obrázku Dr. Strouhal předpokládá, že hmota m₀ je pevně připojena v bodě dolního bodu. Kyvadlo na obrázku má tento přívažek - regulační matičku posuvnou.) 

Doba kyvu diferenciálního kyvadla je tedy: t = Π √²(J/m₀gl), po zjednodušení t = Π √²(Ml/m₀g). Zásadní zjednodušení výpočtu spočívá v tom, že se nepočítá s direkční silou celé hmoty působící v těžišti, ale pouze s direkční silou přívažku působící v bodě přívažku, zatím co v momentu setrvačnosti se projevuje veškerá hmota. Porovnáním se vzorcem pro dobu kyvu matematického kyvadla dochází Strouhal k názoru, že pro diferenciální matematické kyvadlo platí, že doba kyvu se zvýší tolikrát, kolikrát je odmocnina z celkové hmoty větší než odmocnina z urychlovací hmoty m₀. 

Zkusíme jako příklad odpovědět na následující otázku. Jak by kývalo kyvadlo sekundové dlouhé  1 metr od závěsu k těžišti, váha čočky kyvadla 10 kg, kdybychom na ose jeho závěsu k němu připevnili setrvačník o průměru 1 metr a hmotnosti 50 kg, s osou v bodu závěsu kyvadla. Takto to nejde spočítat, protože pojem setrvačník o poloměru 1 m s hmotností 50 kg nemá určené rozložení hmoty, tedy nelze spočítat moment setrvačnosti. Pokud by setrvačník byl udělán jako u diferenciálního matematického kyvadla, tedy dva hmotné body ve stejné vzdálenosti 1 m, nebo kdyby byl setrvačník ve tvaru obruče,  pak vyjde jednoduché:  t = Π√²(60/10g). Kyvadlo by proti matematickému mělo kývat přibližně 2.45 krát pomaleji. 

Složená kyvadla